Question

设有三个乡镇，分别位于一个矩形的两个顶点M，N及的中点S处，，现要在该矩形的区域内（含边界），且与M，N等距离的一点O处设一个宣讲站，记O点到三个乡镇的距离之和为．

（1）设，试将L表示为x的函数并写出其定义域；

（2）试利用（1）的函数关系式确定宣讲站O的位置，使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小．

Answer

（1）；（2）宣讲站位置O满足：，时，可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．

【解析】

（1）根据锐角三角函数的定义表示出，从而得出关于的函数；

（2）利用换元法，令，可得，然后再根据不等式的性质和三角函数的性质，从而求出取得最小值时的大小．

（1）过O作，垂足为T，图略，则T为的中点，

∴，

∴，，，

∴．

（2）由（1）知，，

∴，

令，

则，∴，

由得，或（舍），

当时，，L取最小值，

即宣讲站位置O满足：，，时，

可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．