Question

定义，，…，的“倒平均数”为.

（1）若数列前项的“倒平均数”为，求的通项公式；

（2）设数列满足：当为奇数时，，当为偶数时，.若为前项的倒平均数，求；

（3）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根据定义求得数列的前项和.再根据和项与通项关系求出的通项公式.

（2）先根据为偶数和为奇数时，分别求出数列的前项和，再根据定义求出，最后求出.

（3）先化简不等式得对任意恒成立，再根据数列单调性求最小值，最后根据不等式解集推导出存在最大的实数

（1）设数列的前项和为，

由题意，，

所以.

所以，当时，，

而也满足此式.

所以的通项公式为.

（2）设数列的前项和为，则当为偶数时，，

当为奇数时，.

所以，

所以.

（3）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，

则对任意恒成立，

令，因为，

所以数列是递增数列，

所以只要，即，

解得或.

所以存在最大的实数，

使得当时，对任意恒成立.