Question

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，．

（1）求证：平面．

（2）求二面角的大小；

（3）如果是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连结，由已知数据和勾股定理可得，可得，再由线面垂直关系可得平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面的法向量，又可得是平面的一个法向量，求解，可得二面角的大小；

（3）由是棱的中点，可设，，设直线与平面所成角为，由，求解可得答案．

（1）证明：连结，

在中，，，

，，

，，

又底面，，

，

平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，

则，

是棱的中点，，

，．

设为平面的法向量，

，即，

令，则，

平面的法向量

平面，

是平面的一个法向量．

，

二面角 为锐二面角，

二面角的大小为.

（3）【解析】
是棱的中点，

设，，

设直线与平面所成角为，

由．

直线与平面所成角的正弦值为．