Question

已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于、两点，求与的面积之差的绝对值的最大值，并求取得最大值时直线的方程．为坐标原点）

Answer

（1）；（2）最大值为，直线的方程为

【解析】

（1）由题意可知：，，根据椭圆的性质：，即可求得和的值，从而求得椭圆方程；

（2）由题意设直线方程，，将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理求得，根据三角形的面积公式，对进行分类讨论，从而求得的最大值，此时即可求出直线方程．

（1）由题意得，即，

因为，即，

又，

故椭圆的方程为：；

（2）设的面积为，的面积为，

设直线的方程为，，，，

由，整理得：，

由韦达定理可知：，

，

当时，，

当时，，

（当且仅当，即时等号成立）．

的最大值为，直线的方程为.