Question

已知离心率为 的椭圆(a>b>0)过点M(,1).

(1)求椭圆的方程.

(2)已知与圆x²+y²=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求的值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据椭圆离心率、点的坐标以及列方程组，解方程求得，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合直线与圆相切，计算出的值.

（1）因为椭圆过点，且离心率为，所以煤核儿的，所以椭圆方程为.

（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，直线与椭圆交于不同的两点，由直线与圆相切得，即，所以①.联立直线的方程和椭圆方程得，消去并化简得，则，即.由根与系数关系得.从而.所以，将①代入上式得.

当直线斜率不存在时，由于直线与圆相切，所以直线的方程为，此时直线与椭圆的两个交点为，或，满足.

综上所述，.