Question

已知函数 ，

(1)求 的图象在 处的切线方程并求函数 的单调区间；

(2)求证： .

Answer

（1）切线方程为： ，单调增区间为，单调减区间是（2）见解析

【解析】

试题

(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为： ，单调增区间为，单调减区间是；

(2)构造新函数，结合函数的性质即可证得题中的结论.

试题解析：

(1) ，∴，

所以切线方程为：

单调增区间为，单调减区间是

(2)设，.

∵在上单调递增，且，.

∴存在唯一的零点，使得，

即

∴在上单调递减，在单调递增，

∴

=，

又，∴上式等号不成立，∴，即