Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对于任意都有成立，试求的取值范围；

（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围。

Answer

（1）单调增区间是，单调减区间是.（2）（3）

【解析】

（1）先由导数的几何意义求得a，在定义域内，再求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．

（2）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．

（3）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到， 解出实数b的取值范围．

（1）直线的斜率为1， 函数)的定义域为.

因为，所以，所以，

所以，.

由解得；由解得.

所以得单调增区间是，单调减区间是.

（2）由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值.

因为对于任意都有成立，

所以即可.

则，

即，解得，

所以得取值范围是.

（3）依题意得，则，

由解得，由解得.

所以函数在区间上有两个零点，

所以，解得.

所以的取值范围是.