Question

若A₁，A₂，…，A_m为集合A＝{1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且满足两个条件：

①A₁∪A₂∪…∪A_m＝A；

②对任意的{x，y}⊆A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}＝{x}或{y}．则称集合组A₁，A₂，…，A_m具有性质P．

如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为a_kl．

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
…	…	…	…
an1	an2	…	anm

（1）当n＝4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；

集合组1：A₁＝{1，3}，A₂＝{2，3}，A₃＝{4}；

集合组2：A₁＝{2，3，4}，A₂＝{2，3}，A₃＝{1，4}．

（2）当n＝7时，若集合组A₁，A₂，A₃具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A₁，A₂，A₃；

（3）当n＝100时，集合组A₁，A₂，…，A_t是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的个数）

Answer

（1）集合组1具有性质P，集合组2不具有性质P，理由见解析；（2）图见解析，A1＝{3，4，5，7}，A2＝{2，4，6，7}，A3＝{1，5，6，7}；（3）304

【解析】

（1）根据题意检验两个集合组是否满足性质即可；

（2）一共7行对应1,2,3,4,5,6,7，七个数，其中每列的1或0代表这个集合里面有或者无对应的数，要求每行必须有1，任意两个数至少有一列只出现一个；

（3）条件①可知数表M中任意一行不全为0，由条件②可得数表M中任意两行不完全相同，结合排列组合知识求解.

（1）集合组1具有性质P．

所对应的数表为：

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

集合组2不具有性质P．

因为存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，有{2，3}∩A1＝{2，3}，{2，3}∩A2＝{2，3}，{2，3}∩A3＝∅，

与对任意的{x，y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3}，有Ai∩{x，y}＝{x}或{y}矛盾，

所以集合组A1＝{2，3，4}，A2＝{2，3}，A3＝{1，4}不具有性质P．…

（2）

A1＝{3，4，5，7}，A2＝{2，4，6，7}，A3＝{1，5，6，7}．

（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）

（3）设A1，A2，…，At所对应的数表为数表M，

因为集合组A1，A2，…，At为具有性质P的集合组，所以集合组A1，A2，…，At满足条件①和②，

由条件①：A1∪A2∪…∪At＝A，可得对任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈Ai，

所以axi＝1，即第x行不全为0，所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0.

由条件②知，对任意的{x，y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3，…，t}，使Ai∩{x，y}＝{x}或{y}，所以axi，ayi一定是一个1一个0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同．

所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同．

因为由0，1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元有序数组，共有2t﹣1个，又因数表M中任意两行都不完全相同，所以100≤2t﹣1，所以t≥7．

又t＝7时，由0，1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P．所以t＝7．

因为|A1|+|A2|+…+|At|等于表格中数字1的个数，

所以，要使|A1|+|A2|+…+|At|取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，

而t＝7时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多C72＝21行；1的个数为3的行最多C73＝35行；1的个数为4的行最多C74＝35行；

因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，

所以此时表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2＝304个1．所以|A1|+|A2|+…+|At|的最小值为304．