Question

如图，在等腰直角中，，，点在线段上.

(Ⅰ) 若，求的长；

（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.

Answer

(Ⅰ)或（Ⅱ）当时， 的面积的最小值为

【解析】

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,

由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,

得MP2-4MP+3=0,

解得MP=1或MP=3.

(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,

在△OMP中,由正弦定理,

得=,

所以OM=,

同理ON=.

故S△OMN=OM·ON·sin∠MON

=×

=

=

=

=

=

=.

因为0°≤α≤60°,

30°≤2α+30°≤150°,

所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,

此时△OMN的面积取到最小值.

即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.