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已知函数.其中是自然对数的底数. (1)求函数在点处的切线方程; (2)若不等式...

已知函数.其中是自然对数的底数.

1)求函数在点处的切线方程;

2)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.

 

(1); (2). 【解析】 (1)利用导数的几何意义求出切线的斜率,再求出切点坐标即可得在点处的切线方程; (2)令,然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值. (1),, ∴, 又, ∴切线方程为,即. (2)令, , ①若,则在上单调递减,又, ∴恒成立,∴在上单调递减,又, ∴恒成立. ②若,令, ∴,易知与在上单调递减, ∴在上单调递减,, 当即时,在上恒成立, ∴在上单调递减,即在上单调递减, 又,∴恒成立,∴在上单调递减, 又,∴恒成立, 当即时,使, ∴在递增,此时,∴, ∴在递增,∴,不合题意. 综上,实数的取值范围是.
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考点分析:
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如图,在等腰直角中,,点在线段.

(Ⅰ) ,求的长;

)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.

 

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某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.

(1)求的值;

2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关?

(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)

列联表                           

 

男性

女性

合计

消费金额

 

 

 

消费金额

 

 

 

合计

 

 

 

 

临界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

 

,其中

 

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已知函数(其中)的最小周期为.

1)求的值及的单调递增区间;

2)将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,若关于x的方程在区间上有且只有一个解,求实数m的取值范围.

 

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设数列{}满足

(1)求{}的通项公式;

(2)数列满足,求数列的前n项和

 

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已知函数,且时,若方程恰有5个实数解(其中),则的取值范围为______________.

 

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