Question

如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．

（1）求证:;

（2）求二面角的余弦值;

（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析.

【解析】

（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明．

（2）推导出，，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且．

证明：Ⅰ，M是AB的中点，，

平面平面ABCD，

平面平面，平面ABE，

平面ABCD，平面ABCD，

【解析】
（2） 平面ABCD，，是正三角形，

、MC、ME两两垂直．

建立如图所示空间直角坐标系

则0，，0，，0，，，0，，

，0，，

设y，是平面BCE的一个法向量，

则，

令，得，

轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量

，

二面角的余弦值为

（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为．

0，，，

设，，

则，

直线AP与平面ABE所成的角为，

，

由，解得，

在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且