Question

已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求的最大值；

（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；

（Ⅱ）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；

（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.

（Ⅰ）由题意得，所以，

又，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

设，，则，，

则，

易得当时，，故的最大值为；

（Ⅲ）设，，，，

则 ①， ②，

又，所以可设，直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

又，代入①式可得，所以，

所以，同理可得．

故，，

因为三点共线，所以，

将点的坐标代入化简可得，即．