Question

对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，…，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.

（1）若，求和的值；

（2）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；

（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.

Answer

（1）,,；（2）的取值仅能是2；（3）详见解析．

【解析】

试题（1）由数组的极差的定义，可知，，这时三数为，第二次操作后，，这时三数为，第三次操作后，，，这时三数为，第四次操作后，，这时三数为，第五次操作后，，这时三数为，第六次操作后，，这时三数为，，第２０１４次操作后，，这时三数为；（2）已知的极差为且，这时极差最小值为，当时，这时是三个连续的正整数，即为，由（1）可知，通过变化后，所得数仍然是，所以数组的极差不会改变，即，符合题意，当，这时三个数，通过变化成，这是极差为，或，这样就可以确定出的取值仅能是2；（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足，这时三数形式为，由二项式定理可知，故所以的极差是3的倍数，这样根据极差的定义，通过操作，得到是一个公差为的等差数列，从而可得出结论.

（1）,,3分

（2）法一：

①当时，则

所以，，

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次

小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.

所以，当时，恒成立.

②当时，则

所以或

所以总有.

综上讨论，满足的的取值仅能是2. 8分

法二：

因为，所以数组的极差

所以，

若为最大数，则

若，则

若，则，

当时，可得，即

由可得

所以

将代入得

所以当时，（）

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小

数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.

所以满足的的取值仅能是2. 8分

（3）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，

所以是形如（其中）的数，

又因为

所以中每两个数的差都是3的倍数.

所以的极差是3的倍数. 9分

法1：设，不妨设，

依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得.

所以，当时，.

，

依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得.

所以，当时，.

，

所以存在，满足的极差. 13分

法2：设，则

①当中有唯一最大数时，不妨设，则

，

所以

所以，若是3的倍数，则是3的倍数.

所以，则，，

所以

所以11分

②当中的最大数有两个时，不妨设，则

，

所以，

所以，若是3的倍数，则是3的倍数.

所以，则，

所以.

所以当时，数列是公差为3的等差数列. 12分

当时，由上述分析可得，此时

所以存在，满足的极差. 13分