Question

已知函数，实数且．

（1）设，判断函数在上的单调性，并说明理由；

（2）设且时，的定义域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式对恒成立，求的范围．

Answer

（1）单调递增，证明见解析；（2）；（3）且

【解析】

（1）根据函数单调性定义作差判断函数单调性；

（2）根据单调性确定，，再转化为对应方程实根分布问题，根据韦达定理以及求根公式得关于的函数关系式，最后根据二次函数性质求最值得结果；

（3）先根据绝对值定义化简不等式，变量分离转化为求对应函数最值，

（1）设，则，

∵，，∴，，∴，

即，因此函数在上的单调递增．

（2）由（1）及的定义域和值域都是得，，

因此，是方程的两个不相等的正数根，

等价于方程有两个不等的正数根，

即且且，

解得，

∴，

∵，∴时，最大值为．

（3），则不等式对恒成立，

即，即不等式对恒成立，

令，易证在递增，同理在递减．

∴，，

∴，∴且.