Question

已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．

（1）若tanα=2，求tanβ的值；

（2）求tan（α-β）的最大值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．

（2）利用（1）的结论，进一步根据基本不等式（或者是对勾函数的性质）求出结果．

【解析】
（1）已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．

则：sinαcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ，

整理得sinαcosβ=2cosαsinβ，

所以tanα=2tanβ．

由于tanα=2，

所以tanβ=1．

（2）由（1）得tanα=2tanβ，

所以tan（α-β）=，

=，

由于，

所以tanα＞0，tanβ＞0．

由于，

所以=，

故tan（α-β）的最大值为．