Question

图1是由正方形，直角梯形，三角形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的二面角的大小.

Answer

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）根据平行的传递性，可证明四点共面，要证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，即证明平面，转化为证明，；

（2）过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则，，由（1）可知点为中点，可以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，求二面角的大小转化为求解.

（1）证明：因为正方形中，，梯形中，，所以，

所以，，，四点共面：

因为，所以，因为，，所以平面，

因为平面，所以，

在直角梯形中，，，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，又因为，

则，由勾股定理逆定理可知，

因为，，所以平面，

因为平面，故平面平面，

即平面平面.

（2）【解析】
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则，，

由（1）可知点为中点，且，则，

故可以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点坐标依次为：，，，，，，

所以，，设为平面的一个法向量，则

可取，则，

又，设为平面的一个法向量，则

可取，则，

所以，

结合图形可知二面角的大小为.