Question

已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，，使得函数在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.

参考数据：.

Answer

（1）见解析；

（2）存在，当且时，或当且时，可以使得函数在区间的最小值为且最大值为

【解析】

（1）首先求函数的导数，设，，再求恒成立，说明是单调递增函数，然后讨论的范围，确定函数的单调区间；（2）根据（1）讨论的函数的单调性，当和时函数是单调函数，易判断，当时，令，，根据其单调性，可判断，当时，，当时，，因为，所以，，，与条件矛盾，所以这种情况下不存在.

（1），

令，，

则，则在上单调递增，

①.若，则，则，则在上单调递增；

②.若，则，则，则在上单调递减；

③.若，则，，又在上单调递增，

结合零点存在性定理知：存在唯一实数，使得，

当时，，则，则在上单调递减，

当时，，则，则在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；

当时，存在唯一实数，使得，

在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，

①.若，则，则，

而，解得满足题意；

②.若，则，则，

而，解得满足题意：

③.若，令，，

则，故在上单调递减，所以，

令，，由（1）知；

令，，由（1）知；

因为，，且，

所以，则，，

故，故对任意，

不存在实数能使函数在区间的最小值为且最大值为；

综上，当且时，或当且时，

可以使得函数在区间的最小值为且最大值为.