Question

已知函数.

（1）当时，判断在上的单调性并证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论函数的零点个数.

Answer

(1) 在上的单调递减, 证明见解析 ;(2) ； (3) 见解析.

【解析】

(1) 当时,利用函数单调性的定义可判断在上的单调性，并用定义法证明.
(2)利用分离参数的方法将不等式恒成立，化为，然后求最值即可.
(3) 函数的零点个数,即方程的实根的个数，可数形结合分析得出答案.

(1) 当,时, 在单调递减.

证明：任取，

=

由，有，，

所以，即.

则，

所以当时，在上的单调递减.

(2) 不等式恒成立,即

所以在上恒成立.

而(当即 时取得等号)，所以.

(3)由即,

所以 ,

设作出函数的图象，如下.

由图可知:当或时，有1个零点;

当或或时，有2个零点;

当或时，有3个零点;