Question

设复平面，分别对应复数，已知，且为常数）.

（1）设,用数学归纳法证明：；

（2）写出数列的通项公式；

（3）求.

Answer

(1) 证明见解析;(2);(3)

【解析】

(1)根据数学归纳法证明过程,先证明当时等式成立,再假设当时等式成立,来证明时成立即可.

(2)将复数化简可得,根据等比数列定义可知公比.进而由等比数列通项公式即可求得数列的通项公式;

(3)根据题意先求得及,再求得与,由数列的性质即可求得的值.

(1)证明:当时,等式左边

等式右边

左边=右边

所以当时等式成立

假设当是等式成立,即

则当时

即当时等式也成立

综上可知,对于,等式成立

(2)因为

且为常数

所以数列是以首项，公比的等比数列

所以数列的通项公式为

(3)因为

所以

而

所以

所以