Question

田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:

比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.

（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；

（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.

Answer

（1）0.72；（2）金.

【解析】

（1）田忌用下等马对战公子们的上等马获胜的概率为，用上等马对战公子们的中等马获胜的概率为，用中等马对战公子们的下等马获胜的概率为.由题意求解即可.

（2）根据比赛约定，只能同等级马对战，在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负，求出该月的比赛中田忌获胜的概率以及该月赛马获利得期望，再求解一年的获利期望，即可.

（1）记事件：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，

对于事件，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，

故.

（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金），则的取值为和,

若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负.

设在该月的比赛中田忌获胜的概率为，则

,

,

因此田忌一年赛马获利的数学期望为（金）.