Question

已知C是以AB为直径的圆周上一点，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若异面直线PB与AC所成的为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由线面垂直的性质定理可知.再由以及线面垂直的判断定理，可知平面，即可证明.

（2）解法1，建立空间直角坐标系，令，确定点坐标，令，由题意可知，即，再求平面的法向量为与平面的法向量为，求解即可.解法2：过作的平行线交圆于，连接，，所以直线与所成的角，即为与所成的角，，再过作交于，过作交于，连接，由三垂线定理知，所以即为二面角的平面角，求解边长即可.

（1）证明：因为为圆的直径，所以，

又平面，而平面，所以，

又,平面，平面

所以平面，

而平面，所以平面平面；

（2）解法1：建系如图所示

令，而，则，.

则，令

所以，.

因为异面直线与所成的角为

故，解得.

令平面的一个法向量为

而

由，，所以

由，，所以，即

而平面的一个法向量为

所以.

所以二面角的余弦值为

解法2：过作的平行线交圆于，连接，

所以直线与所成的角，即为与所成的角.

因为为圆的直径，所以

又平面，而平面，所以.

又,所以平面

而平面，所以，则.

令，且所以，

，

,

过作交于，过作交于,连接，由三垂线定理知.

所以即为二面角的平面角.

，

即 .

即为二面角的余弦值为.