Question

函数.

（1）求的单调区间；

（2）在函数的图象上取两个不同的点，令直线AB的斜率

为k，则在函数的图象上是否存在点，且，使得？若存

在，求A，B两点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（1）当时，增区间为，减区间为及；当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为及；当时，减区间为，增区间为；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）先求函数的导数，然后对进行分类讨论，判断导数的正负，确定函数的单调区间，即可.

（2）假设存在，即满足，分别求与，从而证明存在，变形整理，证明存在，令，变形整理证明，利用导数判断单调性，求解即可.

（1）由题知定义域为，

,

当时，，

令，解得，，解得，

即函数在上单调递增，在 及上单调递减；

②当时，，在上，

即函数在上单调递减；

③当时，，

令，解得，，解得，

即函数在上单调递增，在 及上单调递减；

④当时，

令，解得，，解得，

即函数在上单调递增，在 上单调递减；

综上所述：

当时，增区间为，减区间为及；

当时，减区间为；

当时，增区间为，减区间为及；

当时，减区间为，增区间为；

（2）假设存在，即满足，

因为已知，不妨令，

则

，

而，

由，

得存在，也就是证存在，

只要证存在，令，故转化为存在，

即需要证明，令，

则有故在上单调递增，所以，

故不存在.