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已知函数. (1)解不等式; (2)若恒成立,求a的取值范围.

已知函数.

1)解不等式

2)若恒成立,a的取值范围.

 

(1);(2). 【解析】 (1)分类讨论,,,,分别求解即可. (2)求分段函数的最小值,再解不等式,即可. (1)当,则 , 当时,则 , 当时,则,此时无解, 故解集为; (2)由(1)知,所以当时,的最小值为,则, 所以 .
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在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.

1)求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程;

2)若曲线C与直线l相交于M,N两点,求的取值范围.

 

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函数.

1)求的单调区间;

2)在函数的图象上取两个不同的点,令直线AB的斜率

k,则在函数的图象上是否存在点,且,使得?若存

在,求AB两点的坐标,若不存在,说明理由.

 

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已知椭圆的焦距为2,过点.

1)求椭圆的标准方程;

2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于AB两点,以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.

 

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已知C是以AB为直径的圆周上一点,平面.

1)求证:平面平面

2)若异面直线PBAC所成的为,求二面角的余弦值.

 

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田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛,田忌获胜的概率如下表所示:

比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.

1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;

2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000,即胜利者赢得对方1000,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.

 

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