Question

如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer

(1)见证明；(2)

【解析】

（1）由菱形的性质可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结果；（2）设，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，结合平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）∵菱形，∴，

∵平面，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）设，以为原点，为轴，为轴，

过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的法向量，

则，取，得，

平面的法向量，

设二面角的大小为，

则，

∴．

∴二面角的大小为．