Question

已知函数，，其中a为常数，e是自然对数的底数，，曲线在其与y轴的交点处的切线记作，曲线在其与x轴的交点处的切线记作，且.

（1）求之间的距离；

（2）对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为函数和在处的偏差.求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）求出分别与轴、轴的交点坐标，求出函数的导数，根据两条切线平行求出参数的值，即可求出切线方程，利用两平行线的距离公式求间的距离.

（2）得到函数和的偏差为：，，利用导数分析，证明即可.

（1）函数的图像与y轴的交点为，函数的图像与x轴的交点为，

而，，

∵，∴，得，

又∵，∴.

∴，，

∴切线过点，斜率为；切线过点，斜率为，

，，

∴两平行切线间的距离

（2）∵函数和的偏差为：，，

∴，易得在上是增函数，方程有且只有一个正实根，记为，则.

当时，；当时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∵，，∴，

故，

即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.