Question

如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．

（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；

（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；  

（3）当x_A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）p＝2，准线方程为x＝﹣1 ；（2）见解析；（3）最大值为2．

【解析】

（1）求得抛物线的焦点，由题意可得，可得抛物线方程和准线方程；

（2）设过的直线方程为，，，，，，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线的斜率不存在，也成立；

（3）求得的范围和的坐标，运用点到直线的距离公式可得到直线的距离，由弦长公式可得，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积的范围，检验直线的斜率不存在时，可得的面积，进而得到所求最大值．

【解析】
（1）点为抛物线的焦点，即，即，

抛物线的方程为，准线方程为；

（2）证明：设过的直线方程为，，，，，，，

即有，，，

联立直线和抛物线可得，

可得，，

则，

由的重心在轴上，可得，即，

即有，

当直线的斜率不存在时，求得，，的坐标，可得．

则直线与直线的倾斜角互补；

（3）由（2）可得，，

可得，解得，

由抛物线的定义可得，

由，即，即，，

的坐标为，，

到直线的距离为，

可得的面积为，

由，可得，

设，则，

由，则在递减，

可得；

当直线的斜率不存在时，设，，可得，

的面积为，

可得的面积的最大值为2．