Question

如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若， ，求点到平面的距离.

Answer

（Ⅰ）见证明（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果.

（Ⅰ）连接，交于点，再连接，

由已知得，四边形为正方形，为的中点，

∵是的中点，∴，又平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，

又，∴平面,又∵平面,

∴，且.

同理可得，过作，则面，且.

设到平面的距离为,由等体积法可得：

，即，

即.

即点到平面的距离为.