Question

已知不等式．

（1）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

（2）若时不等式恒成立，求实数m的取值范围．

（3）若满足的一切m的值使不等式恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）讨论的取值范围，若，若，根据二次函数的图象与性质即可求解.

（2）讨论的取值范围，当时，满足题意，当时，，当时，由，知恒成立，从而求出函数的取值范围.

（3）令，若满足题意只需，解不等式组即可.

（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立；

②若，则不等式恒成立，则解得．

综上可知，实数m的取值范围是．

（2）令，

①当时，，显然恒成立．

②当时，若对于时不等式恒成立，则

∴

解得，∴．

③当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，

若时不等式恒成立，结合函数图象知只需即可，解得，

∴符合题意．

综上所述，实数m的取值范围是．

（3）令，

若对满足的一切m的值不等式恒成立，则

即解得，

∴实数x的取值范围是．