Question

已知四棱锥中，底面为菱形，且，，过侧面中线的一个平面与直线垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形.

（1）画出这个平面图形，并证明平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，即为所求，由已知可知，为中点，得，同理有，即可得出结论；

（2）连接，交于，连接，可证面，设,

求出点坐标，求出平面法向量，由（1）得面的一个法向量为，根据空间向量二面角公式，即可求解.

（1）连接，即为所求，

∵是菱形，∴，又∵，∴，

∵为中点，∴，同理，

又∵，，∴；

（2）连接，交于，连接，

∵是菱形，∴，且为中点，

∵，∴，同理，又∵，

平面，∴面，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，∵，∴，各点坐标为

.

∵，∴平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，即，设，则，

，

设平面与平面所成的锐二面角大小为，

则，

综上平面与平面所成的锐二面角余弦值为.