Question

已知函数.

（1）试判断函数的单调性；

（2）若函数在上有且仅有一个零点，

①求证：此零点是的极值点；

②求证：.

（本题可能会用到的数据：）

Answer

（1）见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

（1）求出，由，得 ，对参数分类讨论，当时，恒成立，求出单调区间；当，令，求出方程的根，即可求得结论；

（2）①求出，可判断在单调递增，根据零点存在性定理可得，，使得，结合的单调性，可得,时，，在单调递减，单调递增，在上有且仅有一个零点，此零点为极小值点；

②由①得，，且，整理得，且，为函数

的零点，通过求导判断的单调性，结合零点存在性定理，可求，根据在单调递增，即可求出结论.

（1）∵，

∵，∴，∴时，恒成立，

所以在单调递增，没有单调递减区间.

时，设，则对称轴，，

解不等式可得：，或，

所以此时的单调递增区间为和.

单调递减区间是，

综上：时，单调递增区间是，没有单调递减区间：

时，单调递增区间为和，

单调递减区间是；

（2）①∵，

∴在单调递增，又因为，

∴，使得，且时，

时，，

∴在单调递减，单调递增，

∵在上有且仅有一个零点，

∴此零点为极小值点；

②由①得，即，

解得：，且，

设，，

∵，

则在单调递减，

因为，，∴，

又因为在单调递增，，，

∴.