Question

已知离心率为的椭圆的左顶点为，且椭圆经过点，与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线和直线的斜率之积为，求证：直线过定点；

（3）若为椭圆上一点，且，求三角形的面积.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据离心率，将用表示，椭圆方程化为，点代入方程，即可求出椭圆的标准方程；

（2）设的方程为，（或），设，将直线方程与椭圆方程联立，消元得到，由，得，且，，，整理得，或（舍），满足，可得直线过定点

（3），根据向量的关系可得，点到直线距离，即可求解；或将根据椭圆的参数方程，设，，，求得点，又点在椭圆上，整理可得，将用表示，并化简为，即可求得结论.

（1）∵，∴，∴，又∵椭圆经过点，

∴，∴椭圆的标准方程为；

（2）方法一：的方程为，设，

联立方程组，化简得，

由解得，且，，

∴，

∴，

，

化简可得：，∴或（舍），满足，

∴直线的方程为，

∴直线经过定点.

方法二：设的方程为，设，

联立方程组，化简得，

解得：，且，，

∵，

∴，

∴，

化简可得：，∴或者（舍）满足

∴直线经过定点；

方法三：设，则有，∴，

设方程为，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴直线经过定点；

（3）点到直线距离，

∴，∴；

方法二：设，

∵，∴点，

又∵点在椭圆上，∴，

∴.

，

∴.