Question

已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.

（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.

（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当或时，；当时，；（2）存在，.

【解析】

（1）由幂函数的单调性确定参数的可能取值，再由偶函数的性质确定的值．

（2）把作为一个整体，时，，时，.结合二次函数的单调性可得值．

（1）由于已知在上是增函数，因而，解得.

又，因而或1或2.

当或时，，不是偶函数；

当时，，符合题意.

（2）存在.理由如下：

由（1）知.

由于，因而当时，，

此时，函数单调递减，而函数在上单调递减，

则外层函数在上单调递增；

当时，，

此时，函数单调递增，而函数在上单调递减，

则外层函数在上单调递减.

所以，即.

所以存在满足题设条件.