Question

如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于.

（1）试用反证法证明直线与是异面直线；

（2）设，将长表示为的函数，并求此函数的值域；

（3）当最小时，求异面直线与所成角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2），值域；（3）

【解析】

（1）假设直线与是共面直线，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明；

（2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域；

（3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案．

（1）证明：假设直线与是共面直线，

设直线与都在平面上，则、、、．

因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点，

即平面和平面重合（都与平面重合），

这与长方体的相邻两个面不重合矛盾，

于是，假设不成立，

直线与是异面直线；

（2）【解析】
正方体的棱长为2，，

设，则，得，

，，得，

，

当时，有最小值为，当时，，

函数的值域为；

（3）当时，最小，此时，

在底面中，，，，

又，为异面直线与所成角的角，

在中，为直角，，

，

∴异面直线与所成角的大小为．