Question

已知函数和（且为常数），则下列结论正确的是（    ）

A.当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根

B.存在，使得关于的方程有三个不同的实数根

C.当时，若函数恰有个不同的零点、、，则

D.当时，且关于的方程有四个不同的实数根、、、，若在上的最大值为，则

Answer

ACD

【解析】

分和两种情况讨论，利用数形结合思想可判断出A、B选项的正误；设，利用复合函数的零点可判断C选项的正误；求出、的值，结合对称性可判断出D选项的正误.

若，则函数在区间上单调递增，

且当时，，如下图所示：

如上图可知，此时关于的方程根的个数不大于，B选项不合乎题意；

若，且当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，此时，

当时，若关于的方程有四个不同的实数根，则，解得，A选项正确；

设，由，得，

当时，，设关于的一元二次方程的两根分别为、，由于函数有三个零点，则，，设，

由，得，由图象可知，，

由，则，，即，，C选项正确；

当时，若，，

此时，函数与函数在区间上的两个交点关于直线对称，则.

如下图所示，当时，函数与函数的两个交点的横坐标、满足，且有，，则，

，，由图象可知，函数在上单调递减，在上单调增，，，

所以，，，则，，

所以，，D选项正确.

故选：ACD.