Question

在平面直角坐标系中，点、、．

（1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设，且，若，求的值．

Answer

（1）、；（2）.

【解析】

（1）方法一：计算出向量、，利用平面向量的坐标运算可求出所求得的两条对角线和的长度；

方法二：利用平行四边形的对角线互相平分可求出第四个顶点的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得平行四边形两条对角线的长度；

（2）求出向量的坐标，然后利用共线向量的坐标表示可得出关于实数的方程，解出即可.

（1）（方法一）由题设知，，

则，．

所以，．

故所求的两条对角线的长分别为、；

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为，两条对角线的交点为，

则为、的中点，，

又为的中点，则，解得，则点，

由两点间的距离公式可得，

，

故所求的两条对角线的长分别为、；

（2）由题设知：，．

由，得，从而，所以．