Question

如图三棱柱，，分别是的中点，四边形是菱形，且平面平面.

（Ⅰ）求证：四边形为矩形；

（Ⅱ）若,且体积为，求三棱柱的侧面积.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由面面垂直的性质得出平面，再由线面垂直的判定定理得出 平面，利用线面垂直的性质以及平行四边形的性质得出，由此可证明四边形为矩形；

（Ⅱ）设，由棱锥的体积公式解出，利用线面垂直的判定定理证明，由此得出四边形，进而得出三棱柱的侧面积.

(Ⅰ)过点作,交于点,

平面平面,平面平面,

平面，平面,

是正三角形，为中点，

平面

平面

在平行四边形中，分别是的中点，则

四边形为矩形.

(Ⅱ)过点作交于点，连接

设，

在中

体积为,

，

平面

平面

在中

同理 侧面积为