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如图,四棱锥中,底面ABCD为梯形,底面ABCD,,,,. 1求证:平面平面PB...

如图,四棱锥中,底面ABCD为梯形,底面ABCD,

1求证:平面平面PBC;

2HCD上一点,满足,若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为,求二面角的余弦值.

 

(1)证明见解析;(2) 【解析】 试题(I)由直角三角形可得,由线面垂直的性质可得,从而可得平面进而可得结论;(II)以点为坐标原点,分别轴建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果. 试题解析:(I)由,可得, 又 从而,底面, ,平面所以平面平面. (II)由(I)可知为与底面所成角. 所以,所以 又及,可得, 以点为坐标原点,分别轴建立空间直角坐标系, 则. 设平面的法向量. 则由得取 同理平面的法向量为 所以 又二面角为锐角.所以二面角余弦值为. 【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.  
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