Question

某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制了散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.参考数据（其中）：

（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；

（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；

（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.

Answer

（1）；（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）见解析

【解析】

（1）令，则可转化为，分别求出的值，即可求解；

（2）直接利用相关关系公式求得与的相关系数，可得，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取，可得当千件时，每件产品的分原料成本；

（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润，即可得到答案．

（1）令，则可转化为，

因为，所以，

则，所以，

所以关于的回归方程为；

（2）与的相关系数为：

，

因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，

当时，（元），

所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；

（3）（i）若产品单价为100元，记企业利润为（千元），

订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为611（千元），

订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690（千元），

企业利润（千元）的分布列为

611

690

0.8

0.2

所以（千元）；

（ii）若产品单价为90元，记企业利润为（千元），

订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590（千元），

订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为659（千元），

企业利润（千元）的分布列为

590

659

0.3

0.7

所以（千元），

故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.