Question

设函数，.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）是函数的极值点，求函数的单调区间；

（3）在（2）的条件下，，若，，使不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）

【解析】

(1)求出函数的导数，再求出，，由导数得几何意义知切线的斜率为且过点，即可写出直线的点斜式方程；(2)由是函数的极值点可知，求出，令结合定义域即可求出函数的单调区间；(3)令，则题意等价于，利用分析的单调性从而求出最小值为4，所以使得函数，由在有解即可求出的取值范围.

（1）的定义域为，时，，，

，，所以切线方程为，即.

（2），

是函数的极值点，，可得，

所以，令，即，

解得，结合定义域可知在上单调递增，在上单调递减.

（3）令，，，

使得恒成立，等价于，

，

因为，所以，，即，

所以在上单调递增，，

即使得函数，即转化为在有解，

，所以，.