Question

已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题

(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．

(2)分类讨论：①当轴时，．

②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.

试题解析：

（1）设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

（2）设，．

①当轴时，．

②当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得 ，

，

．

当且仅当，即时等号成立．

当时，，综上所述．

当时，取得最大值，面积也取得最大值．

.