Question

已知函数f（x）=（|x|﹣b）²+c，函数g（x）=x+m．

（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；

（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer

（1）c≥﹣；（2）b≥1且1＜b＜.

【解析】

试题（1）代入b=2，m=﹣4，，去绝对值变形为c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，只需求得右边分段函数的最大值．（2）代入c=﹣3，m=﹣2

，得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，所以（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解且

（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，两个二次函数均在各自区间上有两个实数解，由根的分布，可解出b的范围．

试题解析：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，

∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．

（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，

∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，

由根的分布得b≥1且1＜b＜，

∴1＜b＜．