Question

若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”．

（1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；

（2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

（3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由．

Answer

（1）l与椭圆C相切．见解析（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，则点在椭圆C的外部．是真命题．见解析（3）为定值0，见解析

【解析】

（1） ，由根的差别式能得到l与椭圆C相切．

（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，则点在椭圆C的外部．是真命题．联立方程得．由，能求出在椭圆C的外部．

（3）此时与椭圆相离，设则代入椭圆，利用M在上，得．由此能求出．

【解析】
（1）

即

∴

∴与椭圆C相切．

（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，

则点在椭圆C的外部．

是真命题．联立方程得

则

∴

∴

∴在椭圆C的外部．

（3）同理可得此时与椭圆相离，设

则代入椭圆，利用M在上，

即，整理得

同理得关于的方程，类似．

即是的两根

∴．