已知函数
.
（1）求此函数
的单调区间；
（2）设
．是否存在直线
（
）与函数
的图象相切？若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由．
某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是
，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是
，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X.
（1）求X的所有可能取的值；
（2）求X的分布列和数学期望．
在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）预测该地区2016年的居民人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
已知
是函数
的一个极值点．
（1）求
的值；
（2）求函数
在
上的最大值和最小值．
在数列
中，
，且
．
（1）求
，
，
的值；
（2）猜想数列的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.
已知
．
（1）求
和
的值；
（2）求式子
的值．
