Question

如图所示，已知点，过点作直线、与圆：和抛物线：都相切.

（1）求抛物线的两切线的方程；

（2）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，与抛物线的准线交于点（其中点靠近点），且，求与的面积之比.

Answer

（1）；（2）面积比.

【解析】

（1）设过点的直线，利用直线与圆相切的性质、结合点到直线的距离公式，最后求出切线方程；

（2）由（1）可知圆的切线与抛物线也相切，利用方程思想可以求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义可以求出点坐标，进而可以求出、两点坐标，最后求出面积比即可.

（1）设过点的直线方程为：，圆：的圆心为，半径为1，该直线与圆相切，所以有：

，因此圆的切线方程为，即两条切线方程分别为：；

（2）由（1）可知：直线与相切，

所以方程的判别式为零，

即，所以抛物线的方程为：，准线方程为：，设点坐标为：，因为，所以由抛物线的定义可知：

，因此可得，而靠近点，所以点为，直线的方程为：，所以或，因此点坐标为，直线与抛物线的准线交于点，所以，点坐标为，

与的面积之比为：，所以它们的面积比为：2:5.