Question

已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

Answer

（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；

（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；

（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.

（1）因为函数为奇函数，所以，

即对定义域内任意恒成立，所以，即，

显然，又当时，的定义域关于原点对称．

所以为满足题意的值．

（2）结论：在，上均为增函数．

证明：由（1）知，其定义域为，

任取，不妨设，则

，

因为，又，

所以，所以，

即，所以在上为增函数．

同理，在上为增函数．

（3）由（2）知在上为增函数，

又因为函数在上的值域为，

所以，且，所以，

即是方程的两实根，

问题等价于方程在上有两个不等实根，

令，对称轴

则，

即，解得．