Question

函数.

（1）若函数的图象在处的切线过，求的值；

（2）在恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）1；（2）.

【解析】

（1）先对函数求导，得到，根据题意，得到，推出，设，，对其求导，研究其单调性，求出最小值，即可得出结果；

（2）先由题意，将在恒成立，转化为在恒成立，设，，对其求导，分，，三种情况讨论，研究其单调性，得到其大致范围，即可得出结果.

（1）因为，所以，

由于在处的切线过，

所以，即，

化简得，即，

设，，则，

由得；由得；

从而在单调递增，再单调递减；因此，

所以有唯一根；

(2)由得，因为，所以，

因此，在恒成立，即是在恒成立；

设，，

则，

当时，，此时恒成立，

所以单增，因此，满足题意；

当时，显然恒成立，此时单增，

所以，也满足题意；

当时，由得，，

所以方程必有两不等实根，不妨设为，

由根与系数关系，，所以方程在有唯一根，

即在有唯一根，所以易得：在单减，单增，

则，与题意矛盾，不成立；

综上，.