Question

已知抛物线焦点为，为抛物线上在第一象限内一点，为原点，面积为.

（1）求抛物线方程；

（2）过点作两条直线分别交抛物线于异于点的两点，，且两直线斜率之和为，

（i）若为常数，求证直线过定点；

（ii）当改变时，求（i）中距离最近的点的坐标.

Answer

（1）；（2）( i )见解析；（ii）

【解析】

（1）先将代入抛物线的方程，根据三角形面积，求出，即可得出抛物线方程；

（2）（i）先设直线不存在时没有两个交点，不成立)，，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到，表示出，化简整理，得到，代入直线方程，即可得出结果；

（ii）由（i）得到定点在直线上，易得，距离最近时为，进而可求出结果.

（1）由题意，将代入抛物线得，

所以面积为，

，解得，

所以抛物线方程为；

（2）（i）由题意，设直线不存在时没有两个交点，不成立)，，

联立得，所以，

所以，

则，

从而，

带入得直线

所以过定点

（ii）由（i），令，，所以，

即定点在直线上，

因为过点的直线与垂直，

由得，

所以距离最近时为.