Question

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．

Answer

（Ⅰ）曲线的极坐标方程为：；的直角坐标方程为：；（Ⅱ）

【解析】

（I）消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，结合，即可得到曲线的极坐标方程．（II）计算直线l的直角坐标方程和极坐标方程，计算长，即可．

解法一：（Ⅰ）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：，

即，

可得，

所以曲线的极坐标方程为：.

曲线：，即，

则的直角坐标方程为：.

（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，

所以的极坐标方程为.

联立，得，

联立，得，

.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，

联立，解得，

联立，解得，

所以.