Question

如图，四边形为正方形，，且，平面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）.

【解析】

（1）由勾股定理可得出，由平面可得出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，从而得出，再由正方形的性质得出，从而可得出平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.

（1），，.

又平面，平面，.

，平面，平面，.

四边形为正方形，.

又，平面.

平面，平面平面；

（2）平面，，平面.

以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，令.

则、、、，

，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，.

设平面的法向量为，则，

令，则，，∴，

.

二面角为锐角，二面角的余弦值为.