Question

已知椭圆的长轴为，且过点

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为原点，若点在曲线上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer

（1）（2）直线与圆相切，证明见解析

【解析】

（1）由题意可得，代入的坐标，可得，的方程，解方程可得椭圆方程；

（2）设出点，的坐标分别为，，其中，由得到，用坐标表示后把用含有点的坐标表示，然后分，的横坐标相等和不相等写出直线的方程，然后由圆的圆心到的距离和圆的半径相等，证明直线与圆相切.

（1）由题意可得，即，

又，解得，

即有椭圆的方程为；

（2）直线与圆相切.

证明如下：设点,的坐标分别为,，其中.

，

，即，

解得.

当时，，代入椭圆的方程，得，

故直线的方程为，

圆心到直线的距离.

此时直线与圆相切.

当时，直线的方程为,

即.

圆心到直线的距离

又，.

故.

此时直线与圆相切.

综合得直线与圆相切.